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Wissen & Nicht-Wissen

In uns schallt der ewige Ruf:
Hier ist das Problem. Suche nach einer Lösung!
Du findest sie durch reine Überlegung,
denn in der Mathematik gibt es kein ignoramus et ignorabimus.


David Hilbert 1890

Wir kennen das: Wird man mit einem schwierigen Problem konfrontiert, ist man schnell versucht, es als zu schwer beiseite zu legen. Man denkt sich vielleicht: Zu einer vernünftigen Lösung brauche ich einen bestimmten Trick, eine spezielle Methode, die ich aber gar nicht kenne. Daher liegt eine vernünftige Lösung außerhalb meiner Möglichkeiten. Diese defätistische Sichtweise scheint uns sehr plausibel und verbreitet zu sein. Dennoch ist ein solcher Standpunkt falsch.

Während des 19. Jahrhunderts wurde immer offenkundiger: Je mehr Wissenschaftler von der Natur lernten, desto klarer wurde: Je größer die Insel des Wissens, desto größer das Ufer des Nicht-Wissens. Die Hoffnung auf die volle Wahrheit verflog. Diese Erkenntnis hat der deutsche Philosoph Emil du Bois Reymond (1818 - 1896) in eine griffige lateinische Formel gebracht: Ignoramus et ignorabimus - “Wir wissen es nicht und werden es auch nicht wissen”. Das Schlagwort von der Unlösbarkeit der Welträtsel ist inzwischen allgemein akzeptiert. Aber zur Jahrhundertwende hat David Hilbert eine Wissenschaft ausdrücklich hiervon ausgenommen: Die Mathematik ist anders. In seinen Worten: “Wir können Probleme mit der festen Überzeugung angehen, daß ihre Auflösung nach einer Reihe logischer Prozesse erfolgt.” David Hilbert sprach zwar von mathematischer Forschung. Doch das Prinzip läßt sich sehr wohl auf das Lösen von mathematischen Problemen übertragen. Wenn ein Mathematiker ein Problem untersucht, dann in dem Bewußtsein, daß es mit den zur Verfügung stehenden Mitteln erfolgreich gelöst werden kann. Und die Praxis gibt ihm recht.

Die Lösungsfindung eines Problems ist vergleichbar der Situation, mit einem lächerlich kleinen Schlüsselbund ein teuflisch raffiniertes chinesisches Schatzkästlein zu öffnen, das viele verborgene Schubfächer und Kammern besitzt. Oberflächlich betrachtet erscheint es völlig glatt, keine aneinander stoßenden Kanten, nicht die geringste Vertiefung geben einen Hinweis auf bewegliche Teile. Wenn man nicht sicher wüßte, daß dieses Teufelsspielzeug sich irgendwie öffnen ließe, würde man es gar nicht erst probieren. Allein das Wissen um einen Zugang zum Kästchen läßt uns weitersuchen, jede Andeutung eines Risses oder Spalts wird weiter verfolgt. Man hat nicht den Schimmer einer Idee, wie sich die Teile zusammenfügen oder welcher Schlüssel passen könnte. Nach und nach werden gewisse, vielversprechende Schlüssel an den aussichtsreichsten Stellen ausprobiert, bis endlich der richtige gefunden worden ist und sich die Fächer bewegen lassen.

Bei einem guten Geduldsspiel erfolgt die Auflösung niemals als Ergebnis des Zufalls. Später, wenn der Zugang freigelegt wurde, weiß man auch, wo man zweckmäßiger hätte beginnen sollen. Bei einem meisterhaft gefertigten Puzzle bringen nur Beharrlichkeit, Zuversicht und genügend Zeit letztlich den Erfolg. Das gilt auch für ein gutes mathematisches Problem. Man sollte deshalb nie zu früh aufgeben und nach erfolgreicher Lösung stets den Blick zurück richten und sich fragen: Was hätte ich anders machen können? Nur so lernt man mit der Zeit, Probleme zu lösen.

Probleme sind für die (angewandte) Mathematik so unverzichtbar, wie es Fabeln, Geschichten oder Anekdoten für junge Menschen sind, um ihnen das wirkliche Leben begreiflich zu machen. Ein mathematisches Problem ist zwar oftmals ‘polierte’ Mathematik; irgend jemand hat schon eine elegante Lösung gefunden, und die Formulierung der Frage ist von allem überflüssigen Schnickschnack befreit. Problemlösen ist schon mal mit der Suche nach Gold verglichen worden. Sie besitzt alle Merkmale des Versteckspiels: Man ist auf der Suche nach einem vergrabenen Goldklumpen, weiß, wie er aussieht, kennt den ungefähren Grabungsort. Mit geeigneter Ausrüstung bedarf es kaum übermenschlicher Anstrengungen, um an den kostbaren Stein zu kommen. Der unförmige Klumpen mag wohl listig verborgen sein, doch mit Tücke und Geschick läßt sich der Brocken ohne lästiges Graben aus der Erde hervorholen. Das Ergebnis einer Suche verschafft oft nur den letzten ‘Kick’ der Weg dorthin ist die eigentliche Droge. Carl Friedrich Gauss hat diese stimulierende Wirkung einst so beschrieben: “Es ist nicht das Wissen, sondern das Lernen, nicht das Besitzen, sondern das Erwerben, nicht das Da-Sein, sondern das Hinkommen, das den größten Genuß gewährt.”

Es gibt viele Autoren, die in ihren Büchern seitenlang über das Wesen des Problemlösens philosophiert haben (Lakatos, Polya, Schoenfeld). Ich möchte dem Leser diese Literatur wärmstens empfehlen. In dieser Rubrik sollen jedoch direktere Zugänge zu Problembereichen gegeben werden. Um im Bild zu bleiben: Wir werden zeitsparende Grabungstechniken vorstellen. Eine Botschaft ist aber allen diesen Büchern gemeinsam: Problemlösen läßt sich nur durch Lösen von Aufgaben erlernen. Man wird ja auch nicht ein guter Klavierspieler, ohne zu üben. Das Klavierstudium besteht aus nicht enden wollenden Übungsteilen von zunehmendem Schwierigkeitsgrad und nicht aus endlosen Gesprächen darüber, wie man in die Tasten greifen muß. Ebenso lernt kein Mensch denken, indem er die aufgeschriebenen Gedanken anderer liest, sondern dadurch, daß er sich selbst Gedanken macht. Ähnliches ging mir durch den Kopf bei der Planung der Werkstatt Mathematik. Über das Problemlösen zu schreiben, ist ziemlich töricht - so unnütz etwa, wie eine Anleitung über das Schwimmen oder Geigespiel zu verfassen. Diese Künste erlernt man nicht durch bloßes Lesen. Man muß sie tun, sich ganz in sie hineinvertiefen. Die Verbesserung von Problemlösefertigkeiten kann nur nach einem strengen (Diät-)Plan aus harter Praxis, Erfahrung und einem Schuß Kreativität erfolgen.

Paul Jainta, Schwabach
(erschienen in Die Wurzel 11/1999)

Weiter: Polynome (Teil I) pdf, 77K
Polynome (Teil II) pdf, 71K

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